Премия за риск это сумма, которую владелец готов заплатить во избежание неопределенного будущего. Пусть: А0 + £ - сумма, которую приносят инвестиции;
t,- случайная величина с нулевым математическим ожиданием и
дисперсией а2;
П - премия за риск, которую владелец готов заплатить во избежание неопределенного будущего;
u - функция полезности индивида.
Согласно принципа фон Неймана - Моргенштерна
u(A0-Bj=M(u(A0+ 4
Раскладывая обе части в ряд Тейлора и приравнивая главные члены, учитывая, что М£, = 0, получим
П = г(А„)^
Вывод. Человеку безразлично, получит ли он прибыль, про которую известны лишь её среднее значение А0 и произвольно малая дисперсия с2, или гарантированное богатство
А0-г(А0)у.
Пример 2.6. Функция полезности предпринимателя имеет вид:
u(x) = 3arctg(24x-8).
По инвестициям предполагается получать 1,2 млн. грн. со <т2= 0,04 млн.2
Каков гарантированный доход для предпринимателя, равносильный участию в проекте?
Решение.
глл =UL =72• 2(24х ~ 8> 24 + (24х -8)2) =48(24х - 8) \ (l + (24x-8)2T-72 l + (24x-8)2'
Ответ: 1,154 млн. грн.