Пусть:
S - размер финансовых средств, которые готов потратить потребитель на приобретение первого и второго продуктов;
xi - количество продукта первого вида, которое готов приобрести потребитель;
х2 - количество продукта второго вида, которое готов приобрести потребитель;
Pi - цена единицы продукции первого вида; Р2 - цена единицы продукции второго вида; u(xb x2) - функция полезности потребителя.
Надо найти, какое количество продукции каждого вида будет приобретать потребитель, чтобы максимизировать свою полезность, располагая средствами в размере S.
Математическая модель задачи имеет вид:
u(xb x2) —> max,
xi > 0, x2 > 0.
Рассмотрим эту задачу в случае, если функция полезности имеет вид:
и(хь х2) = xi • х2.
Задача принимает вид:
Решив эту задачу, получим
А.х =о,2Рх =s, р2 р21
Рассмотрим, как изменяется спрос на продукты при росте цены.
Если при росте цены на один товар снижается на него спрос и при этом растет спрос на другой товар, то товары - взаимозаменяемы.
Наоборот, если спрос на один товар падает и на другой - падает, то товары - взаимодополняемы.
Товары, на которые растет спрос при росте на него цены, называются товарами Гиффина. Это обязательно малоценные, худшие товары.
Реальная взаимозаменяемость может искажаться общим снижением благосостояния. При росте цены одного блага, второе может заменить первое в потреблении, но спрос на него может не расти, поскольку снизилось общее благосостояние потребителя. Для снятия этого искажения используют понятие компенсированного изменения цены, то есть такого, которое сопровождается увеличением дохода потребителя, позволяющее ему поддерживать прежний уровень благосостояния. Компенсированное изменение цены изображается следующим образом:
Если цена первого товара повысится с pi до pi, то бюджетная прямая перейдет из положения 1 в положение 2. Если сделаем компенсацию, чтобы иметь начальную полезность, бюджетная линия перейдет в положение 3.
АС - эффект замены при росте цены (изменение структуры спроса при условии поддержания прежнего уровня благосостояния). ВС - эффект дохода (изменение потребительского спроса при сохранении соотношения цен благ и изменении уровня дохода). АВ - результат роста цены при отсутствии компенсации. Увязка действия эффекта замены и эффекта дохода с результирующим изменением спроса описывается уравнением Слуцкого: результирующее воздействие на спрос; действие эффекта замены;
V rJ усомр 'Эх "l х - действие эффекта дохода.
Здесь возможно i = j.
Пример 2.7. Пусть целевая функция потребителя зависит от двух благ xi и х2 следующим образом:
u = x х -^max.
Пусть цены благ равны, соответственно, 5 и 2, а доход потребителя составляет 140.
Формулы спроса благ имеют вид cогласно формулам спроса
3140 ... 4140 лп х =...= 12, х= 40,
Пусть теперь р2 меняется с 2 до 10. Поставим два вопроса:
а) Какой нужен размер компенсации, чтобы получить предыдущий набор?
б) Какой нужен размер компенсации, чтобы получить оптимальный набор с предыдущей полезностью?
а) Размер компенсации равен
(10-2)-40 = 320.
Однако прежняя структура потребления не будет оптимальной при новых ценах и минимально необходимая компенсация будет значительно меньше 320.
б) Пусть потребитель получает дополнительно М гривен.
При новых ценах оптимальный спрос на первое и второе блага будет равен:
_(140+М)-3 _(140+М)-4
Значение полезности равно:
1/2 2/3 U=X1 X2 =(140+M)-3Y ((140+M)-4
и
M = Vl403-7004 -140 < 211,19.
211,19 значительно меньше 320.
Найдем новый потребительский набор с предыдущей полезностью при компенсации ~ 211,2 и ценами 5 и 10. Он находится решением системы:
х х =40,55х +210х =351,2. х^ЗО, х2<20.