Качественная характеристика структур оптимальных портфелей ценных бумаг

Ситуация здесь следующая. С увеличением требуемой эффективности вклады в каждую ценную бумагу меняются линейно, если допустимо short sale, и кусочно линейно, если недопустимо. Доли более эффективных бумаг растут, менее эффективных уменьшаются. Графически это выглядит так:

Рис. 6. 1. Доли вкладов в оптимальном портфеле при допустимости short sale.

Рис. 6. 2. Доли вкладов в оптимальном портфеле при недопустимости short sale.

Мера риска оптимального портфеля возрастает с ростом требуемой эффективности. При наличии капитала, взятого в долг, можно сформировать портфель с любой ожидаемой эффективностью, но при этом и риск будет неограниченным.

В случае наличия безрисковых ценных бумаг доли вкладов в ценные бумаги можно проиллюстрировать следующими рисунками.

Рис. 6. 3. Доли вкладов в оптимальном портфеле при допустимости short sale.

Рис. 6. 4. Доли вкладов в оптимальном портфеле при недопустимости short sale.₃

Если же взятие в долг невозможно, то предельная ожидаемая эффективность портфеля совпадает с эффективностью той ценной бумаги, эффективность которой самая большая. В нее вкладывается весь наличный капитал. Если есть несколько с максимальным ожидаемым эффектом, то капитал распределяется между ними. Графически это выглядит так:

Рис. 6.5

Зависимость минимального риска от ожидаемой эффективности портфеля

a) при допустимости short sale;

b) при недопустимости short sale.

Сделаем геометрическую иллюстрацию допустимого множества портфелей из трех акций и выбора оптимального портфеля менеджерами с разными функциями полезности

Фигура АВСМ - множество допустимых портфелей (xj > 0).

Точкам А,В,С соответствуют портфели, состоящие только, соответственно, из акций А,В,С.

МС - множество эффективных портфелей.

Mi - портфель, выбираемый менеджером с линиями безразличия I \.

М₂- портфель, выбираемый менеджером с линиями безразличия 1₂.

г₀ - эффективность безрисковой ценной бумаги (портфель, состоящий только из безрисковых ценных бумаг с эффективностью г₀).

К - оптимальный портфель, состоящий только из рисковых ценных бумаг при условии, что имеются безрисковые с эффективностью г₀.

Кг₀ - множество оптимальных портфелей с долей безрисковых х₀(0<х₀<1).

Ко° _ множество оптимальных портфелей с отрицательной долей безрисковых ценных бумаг (х₀<0). В этом случае безрисковые бумаги берутся в долг и за их счет формируется портфель с любой эффективностью, но и с большим риском.

Если весь капитал инвестируется в безрисковые ценные бумаги, то эффективность вложения равна г₀ и риск равен нулю. Если весь капитал инвестировать в рисковые ценные бумаги, то ожидаемая эффективность равна m_r. а СКО (риск) равен а_г. Любому промежуточному решению (0< х₀ < 1) соответствует одна из точек отрезка [К, г₀]. Если имеется возможность брать безрисковые ценные бумаги в долг (х₀ < 0, [К,°о])_; то достижима любая ожидаемая эффективность, сопряженная соответственно с растущим риском.

Для ориентации массового инвестора в море облигаций, выпускаемых различными корпорациями, крупные брокерские фирмы публикуют рейтинги бонов (ценные бумаги, удостоверяющие вклад на длительный срок). Все эмитенты разбиваются на 9 классов: Ааа, Аа, А, Ваа, Ва,В,Саа, Са, С. Боны, принадлежащие к классу Ааа, оцениваются как абсолютно надежные, боны, принадлежащие к классу С, - как не имеющие абсолютно никаких перспектив. Остальные классы имеют промежуточную надежность. Начиная с уровня В боны считаются спекулятивными и негодными для долгосрочных инвестиций.

В случае двух ценных бумаг изложение существенно упрощается:

X +Х =1,

Vp=Viix?+2Vi2Xix₂+V22X^->ran, \_mx^l_+rY?_x=m

В частности, если вторая ценная бумага безрисковая, то

X +Х =1,

в = 1-х Jo,

Пример 6.5. В табл. 6.4 указаны вероятностные характеристики трех ценных бумаг, полученные путем обработки временных рядов (математические ожидания и ковариации):

1. Задаваясь желаемым значением ожидаемой эффективности портфеля т_р=6%, найти структуру оптимального портфеля и соответствующий риск.

Таблица 6.4

i	nii		Vii	1	2	3
1	10		1	8	1	-2
2	5		2	1	2	-1
3	3		3	-2	-1	1

2. Найти оптимальную структуру рисковой части портфеля, если принять во внимание, что имеются безрисковые ценные бумаги с эффективностью 2%. Указать его эффективность и риск.

3. Найти оптимальное распределение вложений, эффективность оптимального портфеля и риск, если имеется Зтыс. гривен, из которых треть вкладывается в безрисковые.

m_P (IJ₁₂ - MJ_:) + MJ₁₂ - IJ₂ = 6 Следовательно,

e=mC²

Таким образом, оптимальным вложением будет

37,6%-I, 18,5%-II, 43,9%-III.

При этом

V²= 8-0,376² +2-1-0,185-0,376+2-0,185² -2-2-0,376-0,439--2-0,185-0,439+1-0,439² =0,709,

Следовательно, структура рисковой части портфеля такая: 14,4%-!, 26,8% -II, 58,8%-III.

При этом: m_r= 0,144-10 + 0,268-5 + 0,588-3 = 4,544,

V² = 8-0Д44² +2-1 -0,268-0,144 + 2-0,268² -2-2-0,144-0,588-2-0,268-0,588

3. Из 3 тыс. грв. 1 тыс. вкладываются под 2%. Оставшиеся 2 тыс. распределяются следующим образом: 0,144-2000 = 288 под 10%; 0,268-2000 = 536 под 5%; 0,588-2000 = 1176 под 3%. Эффективность и риск этого портфеля, соответственно, равны

m_p=x₀r₀+(l-xo)m_r=|-2 + |-4,544 = 3,696, о* = (l-x_Q)a_r =^-0,28 = 0,187.

Общая структура портфеля такая:

9,6%- I, 17,9%- II, 39,2%- 111,33,3% - безрисковые.

Здесь 0,096 =0,144-|, 0,179 = 0,268-|, 0,392 = 0,588-|.

Пример 6.6. Имеется два вида ценных бумаг: рисковые, с эффективностью 0,6 и о = 4 и безрисковые, с эффективностью 0,2. Имеется 100 гривен. Надо определить структуры портфелей с эффективностями 0; 0,2; 0,4; 0,6; 1; 2; 10; 100. Указать: 1) эффективности портфелей в долях и процентах; 2) деньги, которые предполагается получить в результате этих финансовых операций; 3) структуру портфелей в долях и деньгах; 4) о . Объяснить шестую ситуацию.

Решение. В данной ситуации задачи имеют однозначные решения, которые определяются формулами

0,6х_: + 0,2х₀ = nip,

Результаты вычислений оформляем табл. 6.5.

Таблица 6.5

N	Вложения	Эффект, порт.		Ожид. выигрыш	Структура портфелей				СКО Ор
		Шр			Доли		Деньги
		Части	%		0,6	0,2	0,6	0,2
1	100	0	0	100	-0,5	1,5	-50	150	2
2	100	0,2	20	120	0	1	0	100	0
3	100	0,4	40	140	0,5	0,5	50	50	2
4	100	0,6	60	160	1	0	100	0	4
5	100	1	100	200	2	-1	200	-100	8
6	100	2	200	300	4,5	-3,5	450	-350	18
7	100	10	1000	1100	24,5	-23,5	2450	-2350	98
8	100	100	10000	10100	249,5	-248,5	24950	-24850	998

Объяснение шестой ситуации. Имеется 100 гривен. В долг берется 350 гривен под 20%. Стало 450 гривен. 450 вкладывается под 60%. Получается 450 + 0,6-450= 720. Отдается кредит 350 + 0,2-350 =420. Осталось 720-420=300. Эффективность финансовой операции равна (300— 100)/100 = 2 или 200%. Из таблицы видно, что с ростом эффективности растет и риск (СКО, о).