Рассмотрим три особых случая Ру=0, рц=1, Pij-1-
1. Пусть эффективности ценных бумаг взаимно некоррелируемы, то есть ру= 0 (i^j). Тогда
Произведём простую диверсификацию, вложив деньги в равных долях
1 n 1 2
в бумаги, то есть х; Тогда V = Х-г; Пусть maxc = а. Тогда
P j=m2 J i
Отсюда при n—>oo ap—> 0.
Вывод. С ростом числа разных ценных бумаг, включенных в портфель, эффективности которых взаимно некоррелированы, риск портфеля стремиться к нулю. Сама некоррелируемость эффективностей ценных бумаг, практически, невозможное явление.
Пример 6.3. Рассмотрим условную ситуацию, когда инвестор может формировать портфель из шести различных видов ценных бумаг, эффективности которых взаимно некоррелируемы. Ожидаемые значения эффективностей и их СКО приведены в табл. 6.2.
Таблица 6.2
|
j |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
nij |
12 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
|
°i |
5 |
4 |
1 |
0.9 |
0.7 |
0.7 |
Эффективности и СКО портфелей, составленных поровну из первых двух, трёх, ..., шести ценных бумаг, будут равны (Табл. 6.3).
Таблица 6.3
|
п |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
тр |
11 |
10.33 |
9.75 |
9.2 |
8.67 |
|
°р |
3.20 |
2.16 |
1.62 |
1.30 |
1.09 |
Здесь, к примеру, 10,33=(12+10+9)/3; 2,16 = -V52 +42 +12 . В рассматриваемом примере при снижении эффективности на—100% = 21,2% риск уменьшается почти в три раза.
2. Пусть имеет место полная прямая корреляция, то есть Pij=l. В этом случае
Vp =II(aixi)(ajxj) = IaixiIajxj =
Снова произведём простую диверсификацию, вложив деньги поровну в ценные бумаги, то есть Х; = — . Тогда
i =(ng)2 < V <~(ncQ2 =>a2 < Vp <a2 =»g<o<a. n n
Вывод. При полной прямой корреляции диверсификация не даёт существенного уменьшения риска. Риск равен среднему риску от вложений и не стремится к нулю с увеличением числа видов ценных бумаг.
Полной прямой корреляцией могут быть связаны эффективности акций, к примеру, энергетических компаний, ценные бумаги одного и того же банка в разных филиалах. Полная корреляция имеет место, если курсы ценных бумаг определяются одним и тем же внешним фактором. Причём изменение этого фактора действует в одну и ту же сторону.
3. Случай полной прямой обратной корреляции рц= -1 (i Ф j). Для понимания ситуации достаточно проанализировать портфель, составленный всего из двух типов ценных бумаг. В этом случае
VP = °i xi - 2а1х1а2х2+ о2х2=(а1х1- с^х)
Если х2 = —х1; то Vp=0. °2
Вывод. При полной обратной корреляции, возможно, такое распределение вложений между различными видами ценных бумаг, что риск полностью отсутствует.
Полная обратная корреляция между эффективностями двух ценных бумаг достаточно редкое явление, но возможна. Например, в обратной корреляции находятся эффективности акций тепловых электростанций, работающих на нефтепродуктах и эффективности акций атомных электростанций.
Пример 6.4. Пусть эффективности двух ценных бумаг, имеющих одинаковую стоимость находящихся в полной обратной корреляции со СКО 2 и 3, соответственно. Тогда безрисковым будет портфель Х= (3/5,2/5)=(60%,40%).
В действительности эти крайние случаи довольно редкое явления. На одной Нью-Йоркской бирже было установлено, что коэффициент корреляции между эффективностями ценных бумаг находиться в интервале (0,4; 0,6). Но в любом случае надо делать диверсификацию, руководствуясь основным финансовым правилом: не клади яйца в одну корзину.