Критерии оптимальности

Для выбора оптимальных стратегий в игре с природой пользуются различными критериями. Рассмотрим некоторые из них.

Критерий Байеса. Если имеется статистическая неопределенность, то есть известны вероятности pi, p2,...,pn, с которыми принимаются состояния природы 0i, 02,..., 0П, то за оптимальную стратегию выбирают ту, для которой максимальное среднее значение выигрыша по строке

mBi= ZPjaij^ max

или минимальный средний риск по строке

mn= EPjrij ->min. j Если вероятности неизвестны, то можно считать все состояния равно-возможными, то есть pj = 1/п. В этом случае критерий Байеса называется критерием Лапласа.

По критерию Вальда (крайнего пессимизма) оптимальная стратегия выбирается по нижней цене игры:

а = max oci = max min aij.

По критерию Сэвиджа (также крайнего пессимизма по риску) оптимальную стратегию выбирают по

s = min Si= min тахгц.

По критерию Гурвица оптимальную стратегию выбирают по

h =maxhi = max(Koci+ (I-k)wi) = тах(кттац + (l-K)maxay).

Число к задается на свое усмотрение из отрезка [0,1]. Если к = 1, то имеет место крайний пессимизм, а если к = 0, то крайний оптимизм.

Пример 7.3. Рассмотрим игру с природой. Выбрать оптимальную стратегию, пользуясь критериями: Лапласа; Байеса (по выигрышам и рискам), если состояния природы принимаются, соответственно, с вероятностями 0,6; 0,1; 0,3; Вальда; Сэвиджа; Гурвица с к = 0,6 (табл. 7. 3).

Таблица 7. 3

0 ! (0,6)

e2(o,i)

вз(0,3)

Шс!

mB1

mn

OCi

Si

Wi

hi

Xl

20

65

30

50

15

30

65/3

19,5

53

15

65

30

21

х2

75 10

20

60

35

10

130/

3

57,5

15

20

60

75

42

х3

25 60

80

0

25 20

130/

3

30,5

42

25

60

80

47

Х4

85

0

5

75

45

0

135/ 3

65

7,5

5

75

85

37

Pj

85

80

45

Здесь Например

л ~ Zj'<

nici=- 2,aij > mBi= ZPjaij' mn = X Pjr n jBl fjlj-41 ^VJ4J

mci = (20+30+15)/3 = 65/3,

mB2= 0,6x75+0,1x20+0,3x35 = 75,5,

mr4= 0,6x0+0,1x75+0,3x0 = 7,5,

h3= 0,6x25+0,4x80 = 47.

Следовательно, пользуясь критерием Лапласа, выбираем четвертую стратегию, Баеса - по выигрышам четвертую, по рискам - четвертую, Вальда - третью, Сэвиджа - вторую или третью, Гурвица - третью.

Однозначности в выборе быть не может, ибо неизвестно, как поведет себя природа.