Принятие многоцелевых решений в условиях риска

Пусть

Х={хь х2, ..., Xj,... ,xm} - множество принятия решений (что производить, сеять, чем торговать);

0={ 0i,02, ..., 0 j,..., 0 п} - множество состояний среды ( наличие конкуренции, погодные условия, поведение поставщиков); {l,...,q, ..., s } - способы оценки (прибыль, себестоимость, затраты); аЦ- численная оценка принятого решения Xj при условии, что будет 0; состояние среды и выбран q-ый способ оценки;

а4- численная оценка i - го выбранного решения при q - ом способе оценки.

Общая оценка принятия решений зависит от информации о состоянии среды, то есть от степени неопределённости, с которой принимаются состояния 0i,02, • • •, 0 п- Под информационной ситуацией понимают определенный уровень градации неопределенности нахождения среды в одном из состояний заданного множества, которым обладает субъект управления (менеджер) в момент принятия решения.

Будем различать шесть информационных ситуаций:

— Hi - задаются априорные вероятности состояний 0Ь 0 2, ..., 0 п;

— И2 - известен закон распределения вероятностей состояний среды, но неизвестны его параметры;

— И3 - задаётся система линейных соотношений на компонентах априорного распределения состояний среды;

— И4 - неизвестно распределение вероятностей состояний 0 ь 0 2, ..., 0

— И5 - антагонистические интересы среды в процессе принятия решений;

— И6 - промежуточное состояние среды (обо всём известно понемногу).

В зависимости от информационной ситуации применяют разные критерии выбора решения: Баеса, Лапласа, Вальда, Гурвица и т. д.

В развёрнутой форме ситуации принятия решений записываются матрицами (функционалами оценок)

Сущность проблемы состоит в принятии одного решения на основании свертки.

Проблема принятия многоцелевых решений характеризуется тремя факторами:

• методами нормализации;

• соотношением приоритета;

• критериями свертки.

Методы нормализации. Нормализация применяется для перехода к сравнительным шкалам в значениях функционалов оценок. Очевидно, что все числа в функционалах оценок должны находится в одинаковом диапазоне.

Некоторые методы нормализации приведены в табл. 7.4.
Таблица 7. 4

Метод нормализации

Математическая запись

Смена ингредиента

- а^, I/ay

Относительная нормализация

(аЦ/тахаЦ), (a^-mina^)

Сравнительная нормализация

(ajj-minajj), (maxa^-a^)

Естественная нормализация

(af -minajj)/(maxajj -minajj)

ij i i

Севиджа

(max a £ - a jj )/(max a £ - min a jj)

k k k

Некоторые способы оценки, к примеру, по прибыли, имеют приоритетное значение. Чтобы учесть это, значения ajj для некоторых q, преобразуют в

большие (меньшие) числа. Если имеется несколько функционалов оценки, то для принятия одного решения эти функционалы преобразуют в один функционал. Это преобразование называется свёрткой. Некоторые методы учёта приоритета и некоторые методы свёртки приведены в табл.7.5, 7.6.
Таблица 7. 5

Критерий свертки

Математическая запись

Гарантированного результата

max min a£

k q

Доминирующег о результата

max max a£

к q k

Равенства

я1 _я2 _ _„s

ак0к0 -•••к0

Суммарной эффективности

max У а?

к Тк

Равномерности

т,ахПак

к q

Таблица 7. 6

Принцип учета приоритета

Математическая запись

Линейный

ukaij

Показательный

(4f

Сокращение размеров задачи

Aq у. А% qo задано

Рассмотрим четыре основных задачи принятия многоцелевых решений.

I задача. Имеется s различных оценок состояний среды (X,0,Aq) (q = l,s). Информационная ситуация одна. Критерий принятия решений один. Если надо, то проводится нормализация, учет приоритетов и свертка по каждому состоянию среды. Получаем один функционал оценки С (свертки).

А1.....А8=mn

s матриц A ,...,ASнормализуем в матрицы В ,...,В

В1,..„В8 =mn

Учитывая приоритет, эти матрицы преобразуем в матрицы С ,...,Ск

С помощью свёртки их преобразуем в одну матрицу С:
По ней определяем оптимальную стратегию, пользуясь одним из критериев теории игр, составляя матрицу D.

D =d v m

• ответ.

II задача. Имеется s различных оценок состояний среды: (X,0,Aq),(q=l,s) (информационная ситуация одна, критерий принятия решений один).

Для каждого способа q оценки находим общую оценку Xi - го выбора решения. Получаем один функционал оценки В=(АЬ А2,..., As). По s матрицам принятия решения составляем новый функционал (одну матрицу) с s столбцами, которые соответствуют количеству (s) оценок принятия решений по одному критерию

По ней определяем оптимальную стратегию, пользуясь одним из критериев теории игр, составляя матрицу С.

С =Г п /vcmy

ответ.

III задача. По одной ситуации принятия решения (Х,0,А)

А =Vапamlaln amn

составляем новый функционал с К столбцами, которые соответствуют количеству (К) критериев принятия решений. Из одной матрицы составляем новую матрицу, у которой количество столбцов будет равно количеству критериев. Дальше поступаем как в первой задаче.

IV задача. По одной ситуации принятия решения

А=а11 а1п \ aml amn j

составляем новый функционал с И столбцами, которые соответствуют количеству (И) информационных ситуаций. По одной матрице составляем новую матрицу, у которой количество столбцов равно количеству информационных ситуаций

Пример 7.4. По имеющимся двум ситуациям (Х,6,А ) и (Х,6,А ) принятия решений с одной информационной ситуацией И5 выбора оптимальной стратегии найти оптимальную стратегию в ситуации принятия многоцелевого решения. Использовать естественную нормализацию, линейный учёт приоритета с весовыми коэффициентами ui=l/4, ii2=3/4 и суммарную эффективность для свёртки.

А12 =0/4 б/бЛ

То

г

'\ V

2

8

3 2

3

9 ,

2 3

5

3

5 5

6 V

14 )

1 4 V" )

в\в2 =2/4 О/б

'8/8

0/14 ^

/

0/8

7/14

1/8

8/14 ,

3/8

2/14

КФ

14/14^

V

с\с2 =8/32 0/32 1/32/3/32 4/32

VD =V^8/3212/32 7/327/56 8/56 2/56 14/56

Для выбора оптимальной стратегии к D=C +C применяем критерий Вальда. Оптимальная стратегия х^

Пример 7.5. По имеющимся трём ситуациям (X, 6, А1), (X, 6, А2) и (Х,6,А ) принятия решений с одной информационной ситуацией И 5 выбора оптимальной стратегии, найти оптимальную стратегию в ситуации принятия многоцелевого решения. Нормализации и приоритета не делаем. За критерий принятия решений выбираем критерий Вальда.

а\а23 =(23-3 6)
В =VЛ о2 3 5 6
с =2 2

Х4- оптимальная стратегия.

Здесь b31 =min(3,9),b53 =min(4,2) c5=min(6,l,2)=l.

Пример 7.6. По одной ситуации принятия решений (ХДА) и информационной ситуации Hi определить оптимальную стратегию. Пользуемся критерием Байеса и модальным критерием для составления матрицы В

А =х.Хгх

v2y х2 - оптимальная стратегия.

Первый столбец в В - это второй столбец А как столбец с наибольшей вероятностью. Второй столбец находится по формуле вычисления математического ожидания: Ь32 =6-0,1 + 4-0,4 + 1-0,2 + 1-0,1 + 0-0,2 = 2,5; c2=min(4;2,9).

Пример 7.7. Имеется одна ситуация принятия решений, которая задаётся функционалом оценивания. Экономическая среда характеризуется двумя информационными ситуациями Hi и И4. Hi с вероятностями p(6i)=0.25 и р(62)=0.75 соответственно. Найти оптимальную стратегию в ситуации принятия многоцелевого решения.

А =(0,25)

В =0,25 • 4 + 0,75 • 5 (4 + 5)/2Л

Xi - оптимальная стратегия.

Первый столбец в В получаем по Байесу, а второй по Лапласу. Нормализации не и приоритета не делаем. Свёртку делаем по Вальду.