Пусть
Х={хь х2, ..., Xj,... ,xm} - множество принятия решений (что производить, сеять, чем торговать);
0={ 0i,02, ..., 0 j,..., 0 п} - множество состояний среды ( наличие конкуренции, погодные условия, поведение поставщиков); {l,...,q, ..., s } - способы оценки (прибыль, себестоимость, затраты); аЦ- численная оценка принятого решения Xj при условии, что будет 0; состояние среды и выбран q-ый способ оценки;
а4- численная оценка i - го выбранного решения при q - ом способе оценки.
Общая оценка принятия решений зависит от информации о состоянии среды, то есть от степени неопределённости, с которой принимаются состояния 0i,02, • • •, 0 п- Под информационной ситуацией понимают определенный уровень градации неопределенности нахождения среды в одном из состояний заданного множества, которым обладает субъект управления (менеджер) в момент принятия решения.
Будем различать шесть информационных ситуаций:
— Hi - задаются априорные вероятности состояний 0Ь 0 2, ..., 0 п;
— И2 - известен закон распределения вероятностей состояний среды, но неизвестны его параметры;
— И3 - задаётся система линейных соотношений на компонентах априорного распределения состояний среды;
— И4 - неизвестно распределение вероятностей состояний 0 ь 0 2, ..., 0
— И5 - антагонистические интересы среды в процессе принятия решений;
— И6 - промежуточное состояние среды (обо всём известно понемногу).
В зависимости от информационной ситуации применяют разные критерии выбора решения: Баеса, Лапласа, Вальда, Гурвица и т. д.
В развёрнутой форме ситуации принятия решений записываются матрицами (функционалами оценок)
Сущность проблемы состоит в принятии одного решения на основании свертки.
Проблема принятия многоцелевых решений характеризуется тремя факторами:
• методами нормализации;
• соотношением приоритета;
• критериями свертки.
Методы нормализации. Нормализация применяется для перехода к сравнительным шкалам в значениях функционалов оценок. Очевидно, что все числа в функционалах оценок должны находится в одинаковом диапазоне.
Некоторые методы нормализации приведены в табл. 7.4.
Таблица 7. 4
|
Метод нормализации |
Математическая запись |
|
Смена ингредиента |
- а^, I/ay |
|
Относительная нормализация |
(аЦ/тахаЦ), (a^-mina^) |
|
Сравнительная нормализация |
(ajj-minajj), (maxa^-a^) |
|
Естественная нормализация |
(af -minajj)/(maxajj -minajj) ij i i |
|
Севиджа |
(max a £ - a jj )/(max a £ - min a jj) k k k |
Некоторые способы оценки, к примеру, по прибыли, имеют приоритетное значение. Чтобы учесть это, значения ajj для некоторых q, преобразуют в
большие (меньшие) числа. Если имеется несколько функционалов оценки, то для принятия одного решения эти функционалы преобразуют в один функционал. Это преобразование называется свёрткой. Некоторые методы учёта приоритета и некоторые методы свёртки приведены в табл.7.5, 7.6.
Таблица 7. 5
|
Критерий свертки |
Математическая запись |
|
Гарантированного результата |
max min a£ k q |
|
Доминирующег о результата |
max max a£ к q k |
|
Равенства |
я1 _я2 _ _„s ак0_ак0 -•••_ак0 |
|
Суммарной эффективности |
max У а? к Тк |
|
Равномерности |
т,ахПак к q |
Таблица 7. 6
|
Принцип учета приоритета |
Математическая запись |
|
Линейный |
ukaij |
|
Показательный |
(4f |
|
Сокращение размеров задачи |
Aq у. А% qo задано |
Рассмотрим четыре основных задачи принятия многоцелевых решений.
I задача. Имеется s различных оценок состояний среды (X,0,Aq) (q = l,s). Информационная ситуация одна. Критерий принятия решений один. Если надо, то проводится нормализация, учет приоритетов и свертка по каждому состоянию среды. Получаем один функционал оценки С (свертки).
А1.....А8=mn
s матриц A ,...,ASнормализуем в матрицы В ,...,В
В1,..„В8 =mn
Учитывая приоритет, эти матрицы преобразуем в матрицы С ,...,Ск
С помощью свёртки их преобразуем в одну матрицу С:
По ней определяем оптимальную стратегию, пользуясь одним из критериев теории игр, составляя матрицу D.
D =d v m
• ответ.
II задача. Имеется s различных оценок состояний среды: (X,0,Aq),(q=l,s) (информационная ситуация одна, критерий принятия решений один).
Для каждого способа q оценки находим общую оценку Xi - го выбора решения. Получаем один функционал оценки В=(АЬ А2,..., As). По s матрицам принятия решения составляем новый функционал (одну матрицу) с s столбцами, которые соответствуют количеству (s) оценок принятия решений по одному критерию
По ней определяем оптимальную стратегию, пользуясь одним из критериев теории игр, составляя матрицу С.
С =Г п /vcmy
ответ.
III задача. По одной ситуации принятия решения (Х,0,А)
А =Vапamlaln amn
составляем новый функционал с К столбцами, которые соответствуют количеству (К) критериев принятия решений. Из одной матрицы составляем новую матрицу, у которой количество столбцов будет равно количеству критериев. Дальше поступаем как в первой задаче.
IV задача. По одной ситуации принятия решения
А=а11 а1п \ aml amn j
составляем новый функционал с И столбцами, которые соответствуют количеству (И) информационных ситуаций. По одной матрице составляем новую матрицу, у которой количество столбцов равно количеству информационных ситуаций
Пример 7.4. По имеющимся двум ситуациям (Х,6,А ) и (Х,6,А ) принятия решений с одной информационной ситуацией И5 выбора оптимальной стратегии найти оптимальную стратегию в ситуации принятия многоцелевого решения. Использовать естественную нормализацию, линейный учёт приоритета с весовыми коэффициентами ui=l/4, ii2=3/4 и суммарную эффективность для свёртки.
А1,А2 =0/4 б/бЛ
|
То |
г |
'\ V |
|
2 |
8 |
3 2 |
|
3 |
9 , |
2 3 |
|
5 |
3 |
5 5 |
|
6 V |
14 ) |
1 4 V" ) |
в\в2 =2/4 О/б
|
'8/8 |
0/14 ^ |
/ |
|
0/8 |
7/14 |
|
|
1/8 |
8/14 , |
|
|
3/8 |
2/14 |
|
|
КФ |
14/14^ |
V |
с\с2 =8/32 0/32 1/32/3/32 4/32
VD =V^8/3212/32 7/327/56 8/56 2/56 14/56
Для выбора оптимальной стратегии к D=C +C применяем критерий Вальда. Оптимальная стратегия х^
Пример 7.5. По имеющимся трём ситуациям (X, 6, А1), (X, 6, А2) и (Х,6,А ) принятия решений с одной информационной ситуацией И 5 выбора оптимальной стратегии, найти оптимальную стратегию в ситуации принятия многоцелевого решения. Нормализации и приоритета не делаем. За критерий принятия решений выбираем критерий Вальда.
а\а2,а3 =(23-3 6)
В =VЛ о2 3 5 6
с =2 2
Х4- оптимальная стратегия.
Здесь b31 =min(3,9),b53 =min(4,2) c5=min(6,l,2)=l.
Пример 7.6. По одной ситуации принятия решений (ХДА) и информационной ситуации Hi определить оптимальную стратегию. Пользуемся критерием Байеса и модальным критерием для составления матрицы В
А =х.Хгх
v2y х2 - оптимальная стратегия.
Первый столбец в В - это второй столбец А как столбец с наибольшей вероятностью. Второй столбец находится по формуле вычисления математического ожидания: Ь32 =6-0,1 + 4-0,4 + 1-0,2 + 1-0,1 + 0-0,2 = 2,5; c2=min(4;2,9).
Пример 7.7. Имеется одна ситуация принятия решений, которая задаётся функционалом оценивания. Экономическая среда характеризуется двумя информационными ситуациями Hi и И4. Hi с вероятностями p(6i)=0.25 и р(62)=0.75 соответственно. Найти оптимальную стратегию в ситуации принятия многоцелевого решения.
А =(0,25)
В =0,25 • 4 + 0,75 • 5 (4 + 5)/2Л
Xi - оптимальная стратегия.
Первый столбец в В получаем по Байесу, а второй по Лапласу. Нормализации не и приоритета не делаем. Свёртку делаем по Вальду.