Рассмотрим общую математическую модель оптимального производственного планирования. Требуется осуществить выбор ресурсно допустимых интенсивностей технологий, направленных на максимизацию эффекта, к примеру, прибыли.
Математическая модель этой задачи имеет вид
(С,Х)^тах; АХ<В; Х>0. Здесь
С - вектор удельных эффективностей технологий;
X - вектор интенсивностей;
А- матрица удельных затрат выпуска;
В - вектор ресурсов ингредиентов.
Массив (С,А,В) состоит из случайных величин, то есть зависит от со, где
со - случайная ситуация, элементарное событие некоторого вероятностного пространства (ДА , Р). Здесь
Q. - множество элементарных событий;
А - (У - алгебра событий;
Р - вероятностная мера.
Если формально вместо С, А, В подставить С(со), А(со),В (со), то строгой формулировки задачи не получим. Иногда компоненты С(со), А(со),В (со) заменяют их средне ожидаемыми значениями и рассматривают задачу
(с(со),х)=тах;
А(со)Х < В(со); Х>0.
Наличие баланса в среднем не совсем означает согласованность реальных затрат ресурсов с их реальным наличием. План, выбранный по средним, в большинстве случаев может оказаться не реальным. Замена случайных величин их ожидаемыми значениями допускается при малых разбросах величин вокруг ожидаемых значений. При этом априорно доказать степень малости очень тяжело. Характеристиками относительных разбросов случайного параметра Г) могут быть М(|г|-Мг||) / Мг| или о / Мг|.
Общим недостатком планирования по средним есть то, что множество значений случайного параметра отождествляется с одним некоторым значением.
Математические ожидания можно заменить модами случайных величин - их наиболее вероятными значениями. Этот метод также имеет существенный недостаток, поскольку план, наилучший при модальных значениях, может оказаться нереальным для подавляющегося большинства других случаев.
Иногда планируют по вариантам. Но это не всегда возможно. К примеру, нельзя определить заранее варианты распределения площадей под посевы, так как результаты посева будут известны после сбора урожая, и т. д.