Текущая стоимость капитала

Введем следующие обозначения:

PV - текущая стоимость;

г - процентная ставка дисконта;

t - количество лет;

FV_t - будущий доход, который ожидается получить через t лет;

d_t- коэффициент дисконтирования;

Ро - текущая стоимость обыкновенной акции.

Тогда:

PV = F V_t d_t;

PV= FVt e - непрерывное дисконтирование;

т PV = X FV d_t (FV_t - суммы, которые выплачиваются в t - м промежутке

t=i * в будущем);

PV = FV/r - текущая стоимость пожизненного дохода, если каждый год будут выплачиваться постоянные суммы FV.

Последняя формула получена с помощью суммы бесконечно убывающей прогрессии

_PV=^FVi ^FV i ^FV i ₌1 + г ₌ ^FV = ^FV

^1+r (1 + r)¹⁰ (1 + r)³ "' i___L (ц_т{^1+т-¹) ^r '

1+r ^v\ 1+r

Po = D/r - текущая стоимость акции с постоянными в будущем дивидендами D.

t=_tl (1 + r)¹

- текущая стоимость акции, дивиденды по которой начинают выплачивать с периода ti до бесконечности (D_t - ожидаемые дивиденды в конце t - го перио-

Di(l+g) да). На практике пользуются приближенной формулой Р₀ =---------, закладывая постоянный рост будущих дивидендов g.

Цена не пожизненной акции находится по формуле

l=7⁺(l + r)²⁺ (l + r)³⁺'"(l + r)ⁿ⁺ (l + r)ⁿ

Здесь

I - постоянный годовой процент в гривнах, г - соответствующая ставка процента для выпуска облигации, М - номинал или стоимость погашения акции через п лет (в конце периода),

п - число лет до погашения облигации.

Внутренняя норма доходности IRR - это процентная ставка, при которой современная стоимость рассматриваемого инвестиционного проекта равна нулю. Она определяется решением уравнения

NPV = У^г—г = 0.

Здесь

NPV- чистая современная стоимость; Т - количество лет;

CF_t - чистый поток доходов в t -ом году (чистый поток денежных средств - это разница между ожидаемыми поступлениями за определенный период и расходами).

На основе анализа г = IRR, CF_t устанавливают, убыточным или неубыточным будет проект. IRR надо находить с помощью EXCEL (финансовые функции).

Начисление по вкладам может производиться по простым и по сложным процентам

S_n=P(l+ni)- для простых процентов,

S_n=P(l+i)ⁿ - для сложных процентов.

S_n - величина вклада Р через п лет при годовой ставке i.

Графическая иллюстрация соотношения сумм, наращиваемых по любому, в том числе дробному строку t > О приведена на рис. 5.1.

Рис 5.1

С рисунка видно, что при срочности t < 1 начисления по простым процентам превышает сложный процент; при переходе через единичный промежуток картина меняется: превалирует сложный процент, причем с возрастающей во времени отдачей. Например

(l+i)^1/2<l+-i

и

(1 + i)² > 1 + 2i.

Учет инфляции производится по формуле

S = P, где 1 + г

S - наращенная сумма через год; Р - вложенная сумма; i - процентная ставка; г - годовой темп инфляции. Реальная ставка процента i_r находится по формуле 1

При достаточно большом г реальная ставка процента i_r может стать даже отрицательной. Отсюда видно, что, если кредитор не отреагирует на инфляцию достаточным увеличением ставки, он будет работать себе в убыток, а заемщик при этом будет обогащаться. Если

р = 1+ г - индекс цен (рост цены),

то инфляция означает рост цен

р = 1 + г.

Поэтому, чтобы получить реальную ставку i с учетом инфляции, надо требовать наращенную ставку

j = i + r + ir .

Тогда реальная ставка

i_r =(i + г + ir - г)/(1 + г)= 1.

При невысокой инфляции величины i и г незначительны, и их произведением в формуле можно пренебречь. В этом случае поправка на инфляцию ограничивается величиной темпа г, и ставку корректируют по формуле

j = i + г.

Процентная ставка, скорректированная с учетом риска, равна

mi = r₀ + Pi (me - г₀). Дисконтируя по этой ставке, получим оценку текущей стоимости:

1 + г₀+а_{(т_с -г₀)

^Ро ^_Т.-----Г^7--------Т> ^гД^е

Д1 - дивиденды.

Другие параметры будут объяснены при рассмотрении модели САРМ. Для расчета базисной требуемой нормы прибыли от акционерного капитала (процента) используют такие основные методы:

1. САРМ;

2. Прибыль компании от облигаций плюс вычисленная премия за риск;

3. Дивиденды плюс вычисленные темпы роста;

4. Модель APT.

В зависимости от дополнительного процента (премия за риск), кото рый надеются дополнительно получить инвесторы сверх гарантированного, определяется характер рискованности проекта (табл. 5.1).

Таблица 5.1

Характер проекта	Премия за риск, %
Низкорискованный	3
Среднерискованный	6
Высокорискованный	9

Чем выше степень рискованности проекта (выше премия за риск), тем больший знаменатель в формуле для Р₀ и соответственно меньшая приведенная стоимость проекта.

При определении текущей стоимости капитала основным является понятие дисконта. Как уже отмечалось, коэффициент дисконтирования является нормативом приведения разновременных затрат к единому моменту. При назначении коэффициента дисконтирования обычно ориентируются на существующий или ожидаемый усредненный уровень ссудного процента и субъективные оценки, основанные на опыте инвестора. Важным моментом при определении процентной ставки, применяемой при дисконтировании, является учет риска.

Пример 5.1. Предприниматель взял 2 тыс. гривен в банке под 50% годовых. Сколько денег ему придется вернуть через 5 лет?

Решение. Р = 2000, Т = 5, г = 0,5. Следовательно, FV₅ = 2000(1+0,5)⁵ = =15 187,41 (гривен).

Пример 5.2. Что полезней: получить сразу 5 тыс. гривен или получать ежегодно 1200 на протяжении 5 лет при условии, что годовая процентная ставка составляет 10%?

Решение. Подсчитаем текущую цену денежных поступлений.

1200 1200 1200 1200 _J2Q0_ (1+0Д)¹⁺(1+0,1)²⁺(1+0,1)³⁺(1+0,1)⁴⁺(1+0,1)⁵ -⁴⁵⁴⁸'⁹⁴

Следовательно, лучше получить 5 тыс. гривен сразу, чем получать 5 лет по 1200 гривен.

Пример 5.3. Определить, сколько стоит сейчас 1 доллар при процентной ставке 2, 6, 10, 20% через 1, 2, 5, 10, 20, 30 лет.

Результаты вычислений занесены в табл. 5.2.

Таблица 5.2

	Годы
Процентная ставка	1	2	5	10	20	30
2%	0,980	0,961	0,906	0,820	0,673	0,552
6%	0,943	0,890	0,747	0,558	0,312	0,131
10%	0,909	0,826	0,621	0,386	0,149	0,057
20%	0,883	0,644	0,402	0,162	0,026	0,004

Существенный качественный скачок происходит при процентной ставке, равной 6-7%. Если вложить 3 цента под 20% годовых, то через 20 лет они превратятся в доллар. Кстати, годовая инфляция доллара равна около 4,3%.

В финансовом деле процентные ставки часто обозначают буквами: г, i, К, k, Kd, Kd, g, Rf, K_r, чтобы отличать смысл каждой процентной ставки. Для удобства вычислений составлены таблицы по которым можно легко определять текущую и будущую стоимости денежных поступлений. Приведем здесь четыре основные табл. (5.3-5.6).

Сложная (будущая) стоимость 1 гривны. CVIF(K,n) (compound value interest factor)

CVIFk,n = (l + K)ⁿ

Таблица 5.3

n К	1%	2%	3%	4%	5%	6%	7%	8%	9%	10%
1	1,010	1,020	1,030	1,040	1.050	1,060	1,070	1,080	1,090	1,100
2	1,020	1,040	1,061	1,082	1,102	1,124	1,145	1,166	1,188	1,210
3	1,030	1,061	1,093	1,125	1,158	1,191	1,225	1,260	1,295	1,331
4	1,041	1,081	1,126	1,170	1,216	1,262	1,311	1,360	1,412	1,464
5	1,051	1,104	1,159	1.217	1,276	1,338	1,403	1,469	1,539	1,611
6	1,062	1,126	1,194	1,265	1,340	1,419	1,501	1,587	1,677	1,772
7	1,072	1,149	1,230	1,316	1,407	1,504	1,606	1,714	1,828	1,949
8	1,083	1,172	1,267	1,369	1,477	1,594	1,718	1,815	1,993	2,144
9	1,094	1,195	1,305	1,423	1,551	1,689	1,838	1,999	2,172	2,358
10	1,105	1,219	1,344	1.480	1,629	1,791	1,967	2,159	2,367	2,594
11	1,116	1,243	1,384	1,539	1,710	1,898	2,105	2,332	2,580	2,853
12	1,127	1,268	1,426	1,601	1,796	2,012	2,252	2,518	2,813	3,138
13	1,138	1,294	1,469	1,665	1,886	2,133	2,410	2,720	3,066	3,452
14	1,149	1,319	1,513	1,732	1,980	2,261	2,579	2,937	3,342	3,797
15	1,161	1,346	1,558	1,801	2,079	2,397	2,759	3,172	3,642	4,177

Сумма ежегодного дохода в одну гривну в течение п периодов. CVIFA(K,n) (compound value interest factor annuity)

CVIFA= X(l + K)^n-t =X(1 + K)^t_1

 Таблица 5.4

n К	1%	2%	3%	4%	5%	6%	7%	8%
1	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000	1,000
2	2,010	2,020	2,030	2,040	2,050	2,060	2,070	2,080
3	3,030	3,060	3,091	3,122	3,152	3,184	3,215	3,246
4	4.060	4,122	4,184	4,246	4,310	4,375	4,440	4,506
5	5,101	5.204	5,309	5,416	5,526	5,637	5,751	5,867
6	6.152	6,308	6,468	6,633	6,802	6,975	7,153	7,336
7	7,214	7,434	7,662	7,898	8,142	8,394	8,654	8,923
8	8,286	8,583	8,892	9,214	9,549	9,897	10,260	10,637
9	9,369	9,755	10,159	10,583	11,027	11,491	11,978	12,188
10	10,462	10,950	11,464	12,006	12,578	13,181	13,816	14,487

Текущая стоимость 1 гривны. PVIF(K,n) (the present compound value interest factor)

PVIFK,n =1/(1 + K)ⁿ

Таблица 5.5

К п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1%	0,990	0,980	0,971	0,961	0,951	0942	0,933	0,923	0,914	0,905
2%	0,980	0,961	0,942	0,924	0,906	0,880	0,871	0,853	0,837	0,820
3%	0,971	0,943	0,915	0,889	0,863	0,838	0,813	0,789	0,766	0,744
4%	0,962	0,925	0,889	0,855	0,822	0,790	0,760	0,731	0,703	0,676
5%	0,952	0,907	0,864	0,823	0,784	0,746	0,711	0,677	0,645	0,614
6%	0,943	0,890	0,840	0,792	0,747	0,705	0,665	0,627	0,592	0,558
7%	0,935	0,873	0,816	0,763	0,713	0,666	0,623	0,582	0,544	0,508
8%	0,926	0,857	0,794	0,735	0,681	0,630	0,583	0,540	0,500	0,463
9%	0,917	0,842	0,772	0,708	0,650	0,596	0,547	0,502	0,460	0,433
10%	0,909	0,826	0,751	0,683	0,621	0,564	0,513	0,467	0,424	0,386
12%	0,893	0,797	0,712	0,636	0,567	0,507	0,457	0,404	0,361	0,322
14%	0,877	0,769	0,675	0,592	0,519	0,456	0,400	0,351	0,308	0,270
15%	0,870	0,756	0,658	0,572	0,497	0,432	0,376	0,327	0,284	0,247

Текущая стоимость ежегодной ренты в одну гривну. PVIFA(K,n) (the present compound value interest factor annuity)

PVIFAK,n = y(n i)/it(i+K)¹

Таблица 5.6

n К	1%	2%	3%	4%	5%	6%	7%	8%	9%	10%
1	0,990	0,980	0971	0,962	0,952	0,943	0,935	0,926	0,917	0,909
2	1,970	1,942	1,913	1,886	1,859	1,833	1,808	1,783	1,759	1,736
3	2,941	2,884	2,829	2,775	2,723	2,673	2.624	2,577	2,531	2,487
4	3,902	3,808	3,717	3,630	3,546	3,465	3,387	3,312	3,239	3,170
5	4,853	4,713	4,580	4,452	4,329	4.212	4,100	3,993	3,889	3,791
6	5,795	5,601	5,417	5,242	5,076	4,917	4,766	4,623	4,486	4,355
7	6,728	6,472	6,230	6,002	5,786	5,582	5,389	5,206	5,033	4,868
8	7,652	7,325	7,020	6,733	6,463	6,210	5,971	5,746	5,535	5,335
9	8,566	8,162	7,786	7,435	7,108	6,802	6,515	6,247	5,944	5,759
10	9,471	8.983	8,530	8.111	7,722	7,360	7,024	6,710	6,427	6,145

Пример 5.4. Вам предложили десятилетний 9%-ый купон облигации номиналом в 1000 гривен по цене 1066 гривны. Какую ставку процента вы бы заработали, если бы купили акцию и держали ее до погашения.

Чтобы найти прибыль до погашения, необходимо решить уравнение относительно К:

_Лпгг90 90 90 1000

1066 = (1 + К) (1 + К)² (1 + К)¹⁰ (1 + К)¹⁰

или

V=1066=90-PVIFA(K,10)+1000-PVIF(K,10). Значение К находим подбором. Заменяем величины PVIFA(K,10) и PVIF(K,10) из таблиц их значений при разных К пока не получим равенство. Возьмем К=9%:

PVIFA(0,9,10)=6,418, PVIF(0,9,10)=0,433 90-PVIFA(0,9,10)+1000-PVIF(0,9,10)=90-6,418+1000-0,433=1010,62<1066. Возьмем К=8%.

PVIFA(0,8,10)=6,710, PVIF(0,8,10)=0,463 90-PVIFA(0,8,10)+1000-PVIF(0,8,10)=90-6,710+1000-0,463=1066,9-1066 Таким образом, 8% - это прибыль от облигации до погашения.

Пример 5.5. Фирма рассматривает целесообразность реализации двух проектов А и Б. Ожидаемые потоки доходов CF_t приведены в табл. 5.7.

Таблица 5.7

	Годы
	0	1	2	3
Проект A (CFt)	-2500	2000	1000	900
Проект Б (CFt)	-2500	900	1000	2000

Примечание. Отрицательная величина означает расходы. Определить:

1) внутреннюю норму дохода;

2) период окупаемости;

3) современную стоимость денежных поступлений при норме дисконта с учетом риска и инфляции равной 20%.

Решение.

1. Для проекта A IRR _А находится решением уравнения

-2500 2000 1000 900

(l + IRR_A}⁾⁺(l ₊ IRR_A)¹⁺(l ₊ IRR_A)²⁺(l ₊ IRR_A)³

Решая это уравнение, находим IRR_A=31,3%.

Для проекта Б IRR _Б находится решением уравнения

-2500 900 1000 2000

(l + IRR f (l + IRR } (l + IRR } (l + IRR f

Решая это уравнение, находим IRR_B=22,4%.

Так как IRRa >IRR_b, to относительно кредитования более привлекательный проект А.

2. Период окупаемости - это количество лет, которые необходимы для компенсации средств, вложенных в реализацию проекта, доходами, полученным за период его эксплуатации.

Периоды окупаемости можно находить без учета дисконтирования и с учетом дисконтирования денежных потоков.

1) Определим период окупаемости без учета дисконтирования (табл. 5.8).

Таблица 5.8

	Аккумулированные потоки по годам
	0	1	2	3
Проект А	-2500	-500	500	1400
Проект Б	-2500	-1600	-600	1400

где

Период окупаемости проекта А равен Т = 1 ч-------= 1,5(года).

Период окупаемости проекта Б равен Т = 2 ч--------= 1,3(года).

2) Определим период окупаемости с учетом дисконтирования. Период окупаемости с учетом дисконтирования находится по формуле

Т = тч-S-CF(1 + г)

1о - вложенные средства;

S = У-Ц и находят так, чтобы S_m< Io< S_m+i.

^m Й(1ч-г)¹

Вычисления оформляем табл. 5.9.

Таблица 5.9

Год	Проект А		Проект Б
	Годовой дисконтированный поток	Аккумулированный поток	Годовой дисконтированный поток	Аккумулированный поток
0 1 2 3	-2500 1818 909 744	-2500 -682 227 971	-2500 818 909 1653	-2500 -1682 -773 880

Следовательно

Т =1ч- —= 1,75(года), а 909

Т = 2 + ^- = 2,47(года). ^Б 1653 ^V}

™_r -2500 2000 1000 900 „_0iл„ 3) NPV =381,94_лт-2500 900 1000 2000 _imoc

NPV =-7Г + r +y -r¹⁰¹'⁸⁵-

По всем показателям проект А более привлекательный проекта Б.