Определение полезности по фон Нейману

'

Под лотереей L(x,p,y) понимают ситуацию, в которой у принимается с вероятностью р и х с вероятностью (1-р). Лотерею L(x;0,5;y) обозначают через <х,у> и говорят: лотерея 50-50.

Под сложенной лотереей L(xi,x2,...,xn;pi,p2,...,pn) понимают ситуацию, в которой лицо, принимающее решение, может получить xi,x2,...,xn с вероятностями pi,p2,...,pn, соответственно.

Принято обозначать:

х>-у - х предпочтительнее у;

х -< у - у предпочтительнее х;

х ~ у - безразлично х или у. Предпочтительность определяется индивидуально.

Пусть х1-<х2-<Хз-<-хп_1-<хп упорядоченное по предпочтению множество исходов. Полезностью варианты Xi называется вероятность ц такая, что лицу, принимающему решение, безразлично получить Xj наверняка или участвовать в лотерее L(xbUi,xn). Значение ц есть значение некоторой функции, определенной на упорядоченном по предпочтению множестве.

Функцией полезности и(х) по Нейману, определенной на упорядочен-ном по предпочтению множестве Х= [х*,х ] называют вероятность и(х)=р(х) такую, что принимающему решение безразлично получить х наверняка или участвовать в лотерее Цх*,р(х),х*).

Полезность определяется индивидуально. Определение полезности не математическая проблема. Определение полезности - это искусство.

Пример 2.1. Предлагается два места работы: в первом вам обещают гарантированно 200 грн., а во втором или 100, или 500. При какой вероятности получения 500 грн. вам будет безразличен выбор места работы?

Решение. Определяем свою предпочтительность:

200

-<

Ц100;1;500),

200

>-

Ц100;0;500),

200

-<

Ц100;0,5;500),

200

>-

Ц100;0,3;500),

200

>-

Ц100;0,4;500),

200

-<

Ц100;0,45;500),

200

>-

Ц100;0,43;500),

200

~

Ц100;0,44;500).

Следовательно, u(200) ~ 0,44.

Если действия лица, принимающего решение, непротиворечивы, то значения функции полезности по Нейману на упорядоченном по предпочтению множестве х:-< х2-< х3 —< хп-1-< хп будут находится в соотношениях:

0 = u(xi) < u(x2) < u(x3) < < u(xn.i) < u(xn) = 1.

Так определяемая функция полезности будет иметь значения, заключенные между нулем и единицей, то есть

0<и(х)<1.

В действительности рассматривают функции полезности с произвольной областью изменения.

Для этого значению х* приписывают произвольное значение и(х*) а значению х* произвольное значение и(х*).

Тогда полезностью по Нейману произвольного значения х((хе [х*,х*]) определяется равенством

u (х) = ри (х ) + (1 - р)и (х *), (р определено выше).

Можно считать функцией полезности и любую функцию

v(x)=a+bu(x), где Ь>0.

Можно дать и общее определение функции полезности.

Функцией полезности называется действительная функция и(х), опре-деленная на упорядоченном по предпочтительности множестве Х= Х= [х*,х ], если она монотонна, то есть, если для всех х, у е X из х -< у следует

u(x)<u(y).

В общем, функция полезности строится аналогично функции полезности по Нейману с помощью экспертных процедур. Вариантам х* и х присваиваются произвольные числа А и В (А< В), а промежуточным вариантам ставятся в соответствие некоторые промежуточные числа с помощью экспертных процедур.

Ожидаемой полезностью сложенной лотереи называется математическое ожидание функции полезности

Mu( x )= X PiU(Xj) или Mu( x )= f u(x)f(x)dx,

(f(x) - плотность распределения выигрышей, х - случайный выигрыш в лотерее).

Имеет место принцип фон Неймана - Моргенштерна. Если функция полезности конструируется по способу, определенному фон Нейманом-Моргенштерном и люди ведут себя последовательно (по аксиомам), то данное лицо будет поступать таким образом, чтобы максимизировать ожидаемое значение полезности.

Пример 2.2. Пусть вы сталкиваетесь с одним из двух способов действий (контракты), которые, как показано в табл. 2.1, приводят к различным выигрышам и проигрышам с указанными вероятностями:

Таблица 2.1

Контракты

Выигрыши, их вероятности и полезности

м

о

CV=

о/М

Ми

I

Величина выигрыша

-20

0

10

40

12

21,35

1,78

0,44

Вероятности выигрышей

0,2

од

0,4

0,3

Полезности выигрышей

0

0,2

0,3

1

II

Величина выигрыша

-10

10

20

40

0,36

Вероятности выигрышей

0,2

0,4

0,3

од

12

14

1,17

Полезности выигрышей

ОД

0,3

0,4

1

Надо проранжировать эти действия: 1) по математическому ожиданию, 2) по дисперсии; 3) по математическому ожиданию и дисперсии (коэффициенту вариации); 4) по ожидаемой полезности, построив свою функцию полезности на отрезке [-20,40].

Решение. Построим свою функцию полезности (рисковое поведение) (таб. 2.2)

Таблица 2.2

X

-20

-10

0

10

20

40

и(х)

0

од

0,2

0,3

0,4

1

Как находить М(х) и о рассматривалось раньше. Поэтому вычислим только ожидаемые полезности

Miu(x) = 0,2-0+0,1-0,2+0,4-0,3+0,3-1 = 0,44, Мци(х) = 0,20,1+0,4-0,3+0,30,4+0,1-1 = 0,36.

По математическому ожиданию контракты равносильны, по дисперсии предпочтительнее второй, по соотношению о и М лучший второй. Но согласно принципу Неймана - Моргенштерна, принимающий решение примет первый контракт, так как он имеет большую ожидаемую полезность.

'
Razno.ru