Под лотереей L(x,p,y) понимают ситуацию, в которой у принимается с вероятностью р и х с вероятностью (1-р). Лотерею L(x;0,5;y) обозначают через <х,у> и говорят: лотерея 50-50.
Под сложенной лотереей L(xi,x2,...,xn;pi,p2,...,pn) понимают ситуацию, в которой лицо, принимающее решение, может получить xi,x2,...,xn с вероятностями pi,p2,...,pn, соответственно.
Принято обозначать:
х>-у - х предпочтительнее у;
х -< у - у предпочтительнее х;
х ~ у - безразлично х или у. Предпочтительность определяется индивидуально.
Пусть х1-<х2-<Хз-<-хп_1-<хп упорядоченное по предпочтению множество исходов. Полезностью варианты Xi называется вероятность ц такая, что лицу, принимающему решение, безразлично получить Xj наверняка или участвовать в лотерее L(xbUi,xn). Значение ц есть значение некоторой функции, определенной на упорядоченном по предпочтению множестве.
Функцией полезности и(х) по Нейману, определенной на упорядочен-ном по предпочтению множестве Х= [х*,х ] называют вероятность и(х)=р(х) такую, что принимающему решение безразлично получить х наверняка или участвовать в лотерее Цх*,р(х),х*).
Полезность определяется индивидуально. Определение полезности не математическая проблема. Определение полезности - это искусство.
Пример 2.1. Предлагается два места работы: в первом вам обещают гарантированно 200 грн., а во втором или 100, или 500. При какой вероятности получения 500 грн. вам будет безразличен выбор места работы?
Решение. Определяем свою предпочтительность:
|
200 |
-< |
Ц100;1;500), |
|
200 |
>- |
Ц100;0;500), |
|
200 |
-< |
Ц100;0,5;500), |
|
200 |
>- |
Ц100;0,3;500), |
|
200 |
>- |
Ц100;0,4;500), |
|
200 |
-< |
Ц100;0,45;500), |
|
200 |
>- |
Ц100;0,43;500), |
|
200 |
~ |
Ц100;0,44;500). |
Следовательно, u(200) ~ 0,44.
Если действия лица, принимающего решение, непротиворечивы, то значения функции полезности по Нейману на упорядоченном по предпочтению множестве х:-< х2-< х3 —< хп-1-< хп будут находится в соотношениях:
0 = u(xi) < u(x2) < u(x3) < < u(xn.i) < u(xn) = 1.
Так определяемая функция полезности будет иметь значения, заключенные между нулем и единицей, то есть
0<и(х)<1.
В действительности рассматривают функции полезности с произвольной областью изменения.
Для этого значению х* приписывают произвольное значение и(х*) а значению х* произвольное значение и(х*).
Тогда полезностью по Нейману произвольного значения х((хе [х*,х*]) определяется равенством
u (х) = ри (х ) + (1 - р)и (х *), (р определено выше).
Можно считать функцией полезности и любую функцию
v(x)=a+bu(x), где Ь>0.
Можно дать и общее определение функции полезности.
Функцией полезности называется действительная функция и(х), опре-деленная на упорядоченном по предпочтительности множестве Х= Х= [х*,х ], если она монотонна, то есть, если для всех х, у е X из х -< у следует
u(x)<u(y).
В общем, функция полезности строится аналогично функции полезности по Нейману с помощью экспертных процедур. Вариантам х* и х присваиваются произвольные числа А и В (А< В), а промежуточным вариантам ставятся в соответствие некоторые промежуточные числа с помощью экспертных процедур.
Ожидаемой полезностью сложенной лотереи называется математическое ожидание функции полезности
Mu( x )= X PiU(Xj) или Mu( x )= f u(x)f(x)dx,
(f(x) - плотность распределения выигрышей, х - случайный выигрыш в лотерее).
Имеет место принцип фон Неймана - Моргенштерна. Если функция полезности конструируется по способу, определенному фон Нейманом-Моргенштерном и люди ведут себя последовательно (по аксиомам), то данное лицо будет поступать таким образом, чтобы максимизировать ожидаемое значение полезности.
Пример 2.2. Пусть вы сталкиваетесь с одним из двух способов действий (контракты), которые, как показано в табл. 2.1, приводят к различным выигрышам и проигрышам с указанными вероятностями:
Таблица 2.1
|
Контракты |
Выигрыши, их вероятности и полезности |
м |
о |
CV= о/М |
Ми |
||||
|
I |
Величина выигрыша |
-20 |
0 |
10 |
40 |
12 |
21,35 |
1,78 |
0,44 |
|
Вероятности выигрышей |
0,2 |
од |
0,4 |
0,3 |
|||||
|
Полезности выигрышей |
0 |
0,2 |
0,3 |
1 |
|||||
|
II |
Величина выигрыша |
-10 |
10 |
20 |
40 |
0,36 |
|||
|
Вероятности выигрышей |
0,2 |
0,4 |
0,3 |
од |
12 |
14 |
1,17 |
||
|
Полезности выигрышей |
ОД |
0,3 |
0,4 |
1 |
|||||
Надо проранжировать эти действия: 1) по математическому ожиданию, 2) по дисперсии; 3) по математическому ожиданию и дисперсии (коэффициенту вариации); 4) по ожидаемой полезности, построив свою функцию полезности на отрезке [-20,40].
Решение. Построим свою функцию полезности (рисковое поведение) (таб. 2.2)
Таблица 2.2
|
X |
-20 |
-10 |
0 |
10 |
20 |
40 |
|
и(х) |
0 |
од |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
1 |
Как находить М(х) и о рассматривалось раньше. Поэтому вычислим только ожидаемые полезности
Miu(x) = 0,2-0+0,1-0,2+0,4-0,3+0,3-1 = 0,44, Мци(х) = 0,20,1+0,4-0,3+0,30,4+0,1-1 = 0,36.
По математическому ожиданию контракты равносильны, по дисперсии предпочтительнее второй, по соотношению о и М лучший второй. Но согласно принципу Неймана - Моргенштерна, принимающий решение примет первый контракт, так как он имеет большую ожидаемую полезность.