Формирование оптимального портфеля с помощью доходности вложений требует сбор и обработку громадного количества статистических данных. В экономической жизни все взаимосвязано, но есть факторы, которые влияют сразу практически на все показатели. Такие показатели называются ведущими факторами. Поэтому часто делают прогноз (и это целесообразно) с помощью анализа зависимостей курсов и других характеристик от ведущих факторов финансового рынка. Ведущими факторами могут быть: цена на нефть; средняя доходность ценных бумаг на бирже, на всем финансовом рынке; разные средние; индексы; индексы Доу Джонса; фондовые индексы и т.д.
Пусть
F - некоторый ведущий фактор,
г - доходность какой-нибудь фиксированной ценной бумаги.
По результатам наблюдений значений (г, F), то есть по парам (rj, Fi) из выборки можно записать уравнение регрессии г на F, которое можно считать уравнением зависимости г от F
г = а + bF,
если принимать гипотезу, что зависимость линейна: г ~ а + bF.
Если гипотеза о влиянии ведущего фактора на данную ценную бумагу верна, то все отклонения от прямой г = а + bF вверх и вниз являются случайными. И, если в будущем возникнет новая ситуация, новая пара величин (г, F), то соответствующая точка расположится в окрестности прямой г = а + bF.
Если ведущий фактор F выбран удачно, то его влиянием определяются почти все случайные колебания доходности г, а остаточные колебания e = r-(a+bF) оказываются сравнительно небольшими и некоррелированными и друг с другом, и с другими доходностями г. То есть, если обозначить остаточные колебания i -той ценной бумаги через ej, то
rx =a1 + b1F + e1; (vy = o, i^j)
(Vy - совместная ковариация различных остаточных величин).
Если для каждой ценной бумаги найдена зависимость ее доходности г от ведущего фактора, то можно легко найти и все нужные величины для формирования оптимального портфеля. Действительно,
irii = ai + biinF, Vy = Ь^Ущ
Vii= b. bVFF +vh.
Итак, предполагаем, что доходность любой ценной бумаги зависит от доходности рынка
ri = ai + biF + ei
(доходность рынка - средняя доходность рисковых бумаг).
Пример 6.9. На рынке обращаются рисковые ценные бумаги, доли (среди рисковых бумаг) и эффективности которых (средние доходности в процентах) таковы (табл. 6.6).
Таблица 6.6.
|
Доли |
10 |
15 |
15 |
5 |
5 |
10 |
40 |
|
Эффективн ости |
10 |
6 |
14 |
12 |
15 |
20 |
8 |
Найти доходность рынка. Решение. mF = ОД-10+0,15-6+0,15-14+0,05-12+0,0515+0,1-20+0,4-8 = 10,55%.
Обычно вместо буквы bi используют букву Pi. Этот коэффициент так и называют: «бета ценных бумаг» вида i относительно рынка или, короче «бета i-ro вклада».
Вариация доходности каждой ценной бумаги равна Уц = |3. Vff + Vjj, то
2 есть состоит из двух слагаемых: «рыночной части» вариации р. V , определяемой случайным поведением рынка в целом и «собственной» вариации, не зависящей от рынка v^. Отношение
P2VT7T7 и2 =i FF
называется R - squared.
Это отношение характеризует долю риска данных ценных бумаг, вносимую рынком.
Те бумаги, для которых R - squared велико, в каком-то смысле предпочтительнее, так как их поведение более предсказуемо.
Эффективность ценных бумаг удобно отсчитывать от эффективности безрискового вклада т0
mi = а + PiinF = т0 + Pi(mF - т0) + ос},
где 0Ci = ai + (ft - l)m0. Превышение эффективности ценной бумаги над безрисковой эффективностью т0 называется премией за риск, а = 0 - бумаги справедливо оцениваемые; а > 0 - бумаги рынком недооценены; а < 0 - бумаги рынком переоценены. Аналогичные утверждения имеют место и для портфелей. Графическое изображение (рис 6.9) зависимости эффективностей бумаг от (3 называется линией ценных бумаг SML. Здесь по горизонтальной оси отложены коэффициенты ft по вертикали - эффективности бумаг и портфелей. Все точки, лежащие на прямой SML, соответствуют «справедливо» оцененным бумагам (портфелям), а те, которые выше переоцененным, ниже - недооцененным.
Кроме модели САРМ (Capital Asset Prising Model - Модель ценообразования капитальных активов) иногда используется и модель APT (Arbitrage Prising Theory - Арбитражная модель ценообразования). Однако она более сложная и поэтому в основном используют САРМ. Пример 6.10. В табл. 6.7 указаны доходности ценной бумаги г и средняя доходность рынка F (по рисковым бумагам) на протяжении ряда кварталов
Таблица 6.7.
|
г |
10 |
12 |
9 |
10 |
9 |
10 |
12 |
10 |
8 |
10 |
|
F |
15 |
16 |
14 |
15 |
14 |
15 |
17 |
16 |
13 |
15 |
Решение.
Уравнение регрессии г на F имеет вид г = F - 5 (Его легко найти с помощью компьютера).
Чтобы найти величину остаточных колебаний е, составим ряд значений е = г - (F - 5).
nie= 1/10(0+1+0+0+0+0+0-1+0+0)=0,
что и следовало ожидать.
Уи=1/10 [(0-0)2+(1-0)2+(0-0)2+(0-0)2+(0-0)2+(0-0)2+(0-0)2+(-1-0)2+(0-0)2+(0-0)2]=2/10.
Pi = 1 (коэффициент при F в уравнении регрессии). То, что коэффициент чувствительности |3 приблизительно равен +1, означает, что эффективность рассматриваемого вклада меняется приблизительно одинаково с эффективностью всего рынка.
г = 10.
F = 15 .
Vff =(F1-15)2/10 = 1,2.
VrF =10r2=P1Zff_ = 1O2=6
Ri=2,4.
Так как R относительно велико, то поведение рассматриваемой ценной бумаги предсказуемо.
Премия за риск равна
а = а + (Pi - l)mo = а ~ -5. Следовательно, рассматриваемая ценная бумага переоценена.