Формирование оптимального портфеля с помощью, ведущего фактора

'

Формирование оптимального портфеля с помощью доходности вложений требует сбор и обработку громадного количества статистических данных. В экономической жизни все взаимосвязано, но есть факторы, которые влияют сразу практически на все показатели. Такие показатели называются ведущими факторами. Поэтому часто делают прогноз (и это целесообразно) с помощью анализа зависимостей курсов и других характеристик от ведущих факторов финансового рынка. Ведущими факторами могут быть: цена на нефть; средняя доходность ценных бумаг на бирже, на всем финансовом рынке; разные средние; индексы; индексы Доу Джонса; фондовые индексы и т.д.

Пусть

F - некоторый ведущий фактор,

г - доходность какой-нибудь фиксированной ценной бумаги.

По результатам наблюдений значений (г, F), то есть по парам (rj, Fi) из выборки можно записать уравнение регрессии г на F, которое можно считать уравнением зависимости г от F

г = а + bF,

если принимать гипотезу, что зависимость линейна: г ~ а + bF.

Если гипотеза о влиянии ведущего фактора на данную ценную бумагу верна, то все отклонения от прямой г = а + bF вверх и вниз являются случайными. И, если в будущем возникнет новая ситуация, новая пара величин (г, F), то соответствующая точка расположится в окрестности прямой г = а + bF.

Если ведущий фактор F выбран удачно, то его влиянием определяются почти все случайные колебания доходности г, а остаточные колебания e = r-(a+bF) оказываются сравнительно небольшими и некоррелированными и друг с другом, и с другими доходностями г. То есть, если обозначить остаточные колебания i -той ценной бумаги через ej, то

rx =a1 + b1F + e1; (vy = o, i^j)

(Vy - совместная ковариация различных остаточных величин).

Если для каждой ценной бумаги найдена зависимость ее доходности г от ведущего фактора, то можно легко найти и все нужные величины для формирования оптимального портфеля. Действительно,

irii = ai + biinF, Vy = Ь^Ущ

Vii= b. bVFF +vh.

Итак, предполагаем, что доходность любой ценной бумаги зависит от доходности рынка

ri = ai + biF + ei

(доходность рынка - средняя доходность рисковых бумаг).

Пример 6.9. На рынке обращаются рисковые ценные бумаги, доли (среди рисковых бумаг) и эффективности которых (средние доходности в процентах) таковы (табл. 6.6).
Таблица 6
.6.

Доли

10

15

15

5

5

10

40

Эффективн ости

10

6

14

12

15

20

8

Найти доходность рынка. Решение. mF = ОД-10+0,15-6+0,15-14+0,05-12+0,0515+0,1-20+0,4-8 = 10,55%.

Обычно вместо буквы bi используют букву Pi. Этот коэффициент так и называют: «бета ценных бумаг» вида i относительно рынка или, короче «бета i-ro вклада».

Вариация доходности каждой ценной бумаги равна Уц = |3. Vff + Vjj, то

2 есть состоит из двух слагаемых: «рыночной части» вариации р. V , определяемой случайным поведением рынка в целом и «собственной» вариации, не зависящей от рынка v^. Отношение

 P2VT7T7 и2 =i FF

называется R - squared.

Это отношение характеризует долю риска данных ценных бумаг, вносимую рынком.

Те бумаги, для которых R - squared велико, в каком-то смысле предпочтительнее, так как их поведение более предсказуемо.

Эффективность ценных бумаг удобно отсчитывать от эффективности безрискового вклада т0

mi = а + PiinF = т0 + Pi(mF - т0) + ос},

где 0Ci = ai + (ft - l)m0. Превышение эффективности ценной бумаги над безрисковой эффективностью т0 называется премией за риск, а = 0 - бумаги справедливо оцениваемые; а > 0 - бумаги рынком недооценены; а < 0 - бумаги рынком переоценены. Аналогичные утверждения имеют место и для портфелей. Графическое изображение (рис 6.9) зависимости эффективностей бумаг от (3 называется линией ценных бумаг SML. Здесь по горизонтальной оси отложены коэффициенты ft по вертикали - эффективности бумаг и портфелей. Все точки, лежащие на прямой SML, соответствуют «справедливо» оцененным бумагам (портфелям), а те, которые выше переоцененным, ниже - недооцененным.

Кроме модели САРМ (Capital Asset Prising Model - Модель ценообразования капитальных активов) иногда используется и модель APT (Arbitrage Prising Theory - Арбитражная модель ценообразования). Однако она более сложная и поэтому в основном используют САРМ. Пример 6.10. В табл. 6.7 указаны доходности ценной бумаги г и средняя доходность рынка F (по рисковым бумагам) на протяжении ряда кварталов

Таблица 6.7.

г

10

12

9

10

9

10

12

10

8

10

F

15

16

14

15

14

15

17

16

13

15

Решение.

Уравнение регрессии г на F имеет вид г = F - 5 (Его легко найти с помощью компьютера).

Чтобы найти величину остаточных колебаний е, составим ряд значений е = г - (F - 5).

nie= 1/10(0+1+0+0+0+0+0-1+0+0)=0,

что и следовало ожидать.

Уи=1/10 [(0-0)2+(1-0)2+(0-0)2+(0-0)2+(0-0)2+(0-0)2+(0-0)2+(-1-0)2+(0-0)2+(0-0)2]=2/10.

Pi = 1 (коэффициент при F в уравнении регрессии). То, что коэффициент чувствительности |3 приблизительно равен +1, означает, что эффективность рассматриваемого вклада меняется приблизительно одинаково с эффективностью всего рынка.

г = 10.

F = 15 .

Vff =(F1-15)2/10 = 1,2.

VrF =10r2=P1Zff_ = 1O2=6

Ri=2,4.

Так как R относительно велико, то поведение рассматриваемой ценной бумаги предсказуемо.

Премия за риск равна

а = а + (Pi - l)mo = а ~ -5. Следовательно, рассматриваемая ценная бумага переоценена.

'