Дисперсия не полностью характеризует степень риска. Но она позволяет в некоторых случаях довольно чётко определить предельные шансы менеджера (инвестора, предпринимателя) при принятии экономических решений. Теоретическая база для этого заложена в неравенстве Чебышева:
P(JR-m>5)< 5
R - случайная величина;
m - её математическое ожидание;
5 - величина отклонения случайной величины от её математического ожидания;
где
V=a2 - дисперсия случайной величины; Так как р<1, то естественно требовать V<5 .
Пусть инвестиции осуществляются за счёт кредита взятого под процент rs под залог недвижимости. Найдём вероятность события, что инвестор не сможет вернуть долг и лишится своей недвижимости.
Пусть R - случайная величина эффективности вложений с математическим ожиданием m и дисперсией V. Тогда вероятность неразорения равна
V P(R<rs)=P(R-m< rs -m)= P(m-R< m-rs )= P(|R-m| < m-rs )<(m-rs)2
Рационально вкладывать под кредит можно только тогда, когда m >rs. Для того, чтобы шанс разорения был не более одного из 9, достаточно, чтобы выполнялось неравенство
V<(m-rs)2 9 Отсюда следует, что За<т- г8 или m>rs+3a
Это правило трёх сигм.
Пример 6.7. Предприниматель берёт кредит под 20% годовых. Эксперты оценивают, что риск, связанный с колебаниями ожидаемой прибыли, составляет 10%. Оценить с вероятностью 1/9 уровень ожидаемой прибыли, чтобы избежать банкротства. По полученным формулам имеем
т>20%+3-10%=50%.
Рассмотрим ещё случай, когда кредитор инвестирует лишь часть своего капитала, оставляя остальную часть на сбережение под процент г0.
Пусть
S - начальный капитал;
х0- доля, вложенная на сбережения под процент г0. Разорение возможно, если
x0S(l+ r0)+(l- x0)S(l+R)<0. Отсюда
1 + ХаГаR<1-х0
Оценка по неравенству Чебышева даёт риск банкротства с вероятностью, меньшей чем 1/9 тогда, когда
3a<m или т> 3а.
Игра на собственный капитал значительно безопаснее. Если инвестировать весь собственный капитал, то достаточным уровнем неразорения будет
m>l+3a.