Риски неравенство Чебышева

Дисперсия не полностью характеризует степень риска. Но она позволяет в некоторых случаях довольно чётко определить предельные шансы менеджера (инвестора, предпринимателя) при принятии экономических решений. Теоретическая база для этого заложена в неравенстве Чебышева:

P(JR-m>5)< 5

R - случайная величина;

m - её математическое ожидание;

5 - величина отклонения случайной величины от её математического ожидания;

где

V=a2 - дисперсия случайной величины; Так как р<1, то естественно требовать V<5 .

Пусть инвестиции осуществляются за счёт кредита взятого под процент rs под залог недвижимости. Найдём вероятность события, что инвестор не сможет вернуть долг и лишится своей недвижимости.

Пусть R - случайная величина эффективности вложений с математическим ожиданием m и дисперсией V. Тогда вероятность неразорения равна

V P(R<rs)=P(R-m< rs -m)= P(m-R< m-rs )= P(|R-m| < m-rs )<(m-rs)2

Рационально вкладывать под кредит можно только тогда, когда m >rs. Для того, чтобы шанс разорения был не более одного из 9, достаточно, чтобы выполнялось неравенство

V<(m-rs)2 9 Отсюда следует, что За<т- г8 или m>rs+3a

Это правило трёх сигм.

Пример 6.7. Предприниматель берёт кредит под 20% годовых. Эксперты оценивают, что риск, связанный с колебаниями ожидаемой прибыли, составляет 10%. Оценить с вероятностью 1/9 уровень ожидаемой прибыли, чтобы избежать банкротства. По полученным формулам имеем

т>20%+3-10%=50%.

Рассмотрим ещё случай, когда кредитор инвестирует лишь часть своего капитала, оставляя остальную часть на сбережение под процент г0.

Пусть

S - начальный капитал;

х0- доля, вложенная на сбережения под процент г0. Разорение возможно, если

x0S(l+ r0)+(l- x0)S(l+R)<0. Отсюда

1 + ХаГаR<1-х0

Оценка по неравенству Чебышева даёт риск банкротства с вероятностью, меньшей чем 1/9 тогда, когда

3a<m  или т> 3а.

Игра на собственный капитал значительно безопаснее. Если инвестировать весь собственный капитал, то достаточным уровнем неразорения будет

m>l+3a.