Для выбора оптимальных стратегий в игре с природой пользуются различными критериями. Рассмотрим некоторые из них.
Критерий Байеса. Если имеется статистическая неопределенность, то есть известны вероятности pi, p2,...,pn, с которыми принимаются состояния природы 0i, 02,..., 0П, то за оптимальную стратегию выбирают ту, для которой максимальное среднее значение выигрыша по строке
mBi= ZPjaij^ max
или минимальный средний риск по строке
mn= EPjrij ->min. j Если вероятности неизвестны, то можно считать все состояния равно-возможными, то есть pj = 1/п. В этом случае критерий Байеса называется критерием Лапласа.
По критерию Вальда (крайнего пессимизма) оптимальная стратегия выбирается по нижней цене игры:
а = max oci = max min aij.
По критерию Сэвиджа (также крайнего пессимизма по риску) оптимальную стратегию выбирают по
s = min Si= min тахгц.
По критерию Гурвица оптимальную стратегию выбирают по
h =maxhi = max(Koci+ (I-k)wi) = тах(кттац + (l-K)maxay).
Число к задается на свое усмотрение из отрезка [0,1]. Если к = 1, то имеет место крайний пессимизм, а если к = 0, то крайний оптимизм.
Пример 7.3. Рассмотрим игру с природой. Выбрать оптимальную стратегию, пользуясь критериями: Лапласа; Байеса (по выигрышам и рискам), если состояния природы принимаются, соответственно, с вероятностями 0,6; 0,1; 0,3; Вальда; Сэвиджа; Гурвица с к = 0,6 (табл. 7. 3).
Таблица 7. 3
|
0 ! (0,6) |
e2(o,i) |
вз(0,3) |
Шс! |
mB1 |
mn |
OCi |
Si |
Wi |
hi |
|
|
Xl |
20 65 |
30 50 |
15 30 |
65/3 |
19,5 |
53 |
15 |
65 |
30 |
21 |
|
х2 |
75 10 |
20 60 |
35 10 |
130/ 3 |
57,5 |
15 |
20 |
60 |
75 |
42 |
|
х3 |
25 60 |
80 0 |
25 20 |
130/ 3 |
30,5 |
42 |
25 |
60 |
80 |
47 |
|
Х4 |
85 0 |
5 75 |
45 0 |
135/ 3 |
65 |
7,5 |
5 |
75 |
85 |
37 |
|
Pj |
85 |
80 |
45 |
Здесь Например
л ~ Zj'<
nici=- 2,aij > mBi= ZPjaij' mn = X Pjr n jBl fjlj-41 ^VJ4J
mci = (20+30+15)/3 = 65/3,
mB2= 0,6x75+0,1x20+0,3x35 = 75,5,
mr4= 0,6x0+0,1x75+0,3x0 = 7,5,
h3= 0,6x25+0,4x80 = 47.
Следовательно, пользуясь критерием Лапласа, выбираем четвертую стратегию, Баеса - по выигрышам четвертую, по рискам - четвертую, Вальда - третью, Сэвиджа - вторую или третью, Гурвица - третью.
Однозначности в выборе быть не может, ибо неизвестно, как поведет себя природа.