Всякого рода торги за приобретение прав на собственность или за преимущество при предоставлении услуг являются важным видом действий на финансовом рынке. Рассмотрим простейшие модели торгов.
Пусть на аукционные торги выставляются два объекта и в торгах участвуют также два покупателя. Еще до начала аукциона участники должны определить свою цель участия в аукционе. В случае если участников двое, целями их могут быть
1) максимизация разности своего дохода и дохода конкурента;
2) максимизация своего дохода и т.д.
Рассмотрим математические методы решения этих задач. Пусть
Vi - стоимость первого объекта, выставленного на торгах; V2 - стоимость второго объекта, выставленного на торгах; Sa - количество денег у покупателя А; Sb - количество денег у покупателя В;
А - минимальная величина, установленная правилами аукциона, на которую покупатели могут повысить цену объектов. Предполагается, что силы обоих покупателей примерно равны. Математически это записывается в виде
Максимизация разности доходов
Пусть торги начинает покупатель В.
Если В предложил цену X за первый объект и А не хочет платить такую цену, то В купит первый объект и у него останется Sb - X. Если теперь А захочет купить второй объект, то он за него предложит Sb - Х+ А, и купит его. При этом прибыль А равна RA = V2 - SB + X - А, а прибыль В равна RB = Vi -X.
Разность доходов в этом случае равна
Ra- Rb= V2 - SB + X - А - Vi + X.
Если А не захочет уступать первый объект, то он за него увеличит цену до X + А, а В уступит, то В выигрывает торги за 2-ой объект, предложив за него SA- (X + А) + А = SA - X. В этом случае разность доходов А и В равна
Ra-Rb = (Vi-X-A)-[V2-(Sa-X)].
А будет идти на повышение цены за первый объект в том и только в том случае, если разность доходов во втором случае будет больше, т.е.
(Vi-X-A)-[V2-(Sa-X)])>V2-Sb + X-A-Vi+X.
Отсюда
2V =2V +S +S
X < 1 2 А В
Доход А при этом равен
V +V S +S R =v -Х-А = 2Авд
Доход В при этом равен
R =V -S +X = XlS +2а*24 А 4
Разность между доходами А и В равна
Максимизация собственного дохода
Пусть А хочет максимизировать свой доход. А будет увеличивать цену за первый объект до Х+А; если это позволит ему увеличить свой аукционный доход, т.е., если
V1-(X + A)>V2-(SB-X + A). Отсюда
Усилитель сигнала сотовой связи репитер gsm купить .
Соответственно, если В преследует цель максимизации своего дохода, то он предложит цену Х+А, когда
v-v+sA х
Аукционные торги окончатся, если X превысит Y
Если Sb > Sa, to первый объект будет куплен А. При этом его доход будет равен
r =V(v-v+sA v+v-sA)/12------A-A = ^-----2------±-A.
Если Sa > Sb, to первый объект купит В, при этом доход А будет равен
R =V -S +В_д= В_д
Пример 8.3. Пусть А имеет 1600 гривен, а В - 1200 гривен. На аукцион выставлены два объекта стоимостью 900 гривен и 1000 гривен. Проведем анализ аукционных торгов. А будет повышать цену до
2V -2V +S +S 1800-2000 + 1600 + 1200 ren X= 650.
Если первый объект за эту цену купит В, то его доход будет равен
RB = Vi - X = 900 - 650 = 250.
В этом случае доход А будет равен
Ra= У2- SB + X = 1000 - 1200 + 650 = 450.
Разность доходов равна: 450 - 250 = 200.
Если же первый объект за 650 грн. купит А, то его доход будет равен:
900 - 650 = 250. Тогда доход В будет равен
Rb= V2- Sa + X = 1000 - 1600 + 650 = 50.
Разность доходов снова равна: 250 - 50 = 200.
Поскольку Sa = 1600 > Sb = 1000, то для максимизации своего дохода первый объект должен купить В, и доход А будет равен
R=Vi +V2 "Sb = (900 + Ю00~ 1200) /А 22=350
А должен предлагать за первый объект не больше, чем
х=Vi " V2 +Sb =900-1000 + 1200 55Q
Анализ можно делать и непосредственными вычислениями без формул.
Например, если А предложит за первый объект 600 и его купит В, то у В останется еще 600, и тогда второй объект А должен купить за 600. Поэтому доход А равен 1000 - 600 = 400, а доход В равен 900 - 600 = 300.
Разность доходов 400 - 300 < 200.
Если А предложит за первый объект 700, то он будет вынужден купить его сам. У него останется 1600 - 700 = 900. Поэтому В купит второй объект за 900. У В останется 1200 - 900 = 300.
Доход А равен 900 - 700 = 200, доход В равен 1000 - 900 = 100. Разность доходов равна 200 - 100 = 100, что меньше 200.